球面透镜的公式

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符号法则

  • 旋转对称光学系统的对称轴为光轴或z轴。
  • 所有的距离相对于参考点、参考线或参考面测量:向上或向右的距离为正,向下或向左的距离为负。
  • 所有的角度相对于参考线或参考面测量:逆时针角度为正,顺时针角度为负。
  • 曲率半径是从表面顶点到曲率中心的定向距离。
  • 光在折射率为正的介质中从左向右传播。
  • 所有折射率的符号在反射后变反。

球面单透镜

球面单透镜根据曲率的方向分为以下类型。


 

 

虽然通过曲率半径能确定透镜的基本形状和类型,但完整定义一个透镜还需要更多参数:中心厚度tc、直径D和材料,也就是具有一定折射率n、吸光度α和色散V数的玻璃或其它光学介质。在简单分析中,透镜形状有时候并不重要,我们只需考虑其基本功能,也就是知道焦距及其符号:会聚透镜(↕)焦距为正,而发散透镜焦距为负。

透镜或其它成像系统都能用两个虚拟的主平面表示,一个位于物方(H),一个位于像方(H'),并且都和光轴垂直。主平面是定义有效焦距、物镜和像距等参数的参考。根据透镜的形状,主平面可能位于透镜之外。对于薄透镜,两个主平面在透镜处重合,因此只用一个主平面就能估计物空间和像空间之间的关系。

镜制造者公式
对于一定的焦距,我们可用这个公式确定透镜的各种参数,比如材料的折射率(以及吸光度和V数)、曲率半径和中心厚度;反之亦然。因为变量较多,计算时会使用多种假设,所以专业经验和直觉就会变得很重要,有时通过简单分析就能确定一些参数。
对于空气中的薄透镜,中心厚度远小于曲率半径,所以两个主平面在透镜处重合,其有效焦距为:
 

其中n为透镜折射率。

 

对于厚透镜,中心厚度不可忽略,所以两个主平面不重合,其有效焦距为:

 

 

成像系统的共轭参数

成像系统前后分别是物空间和像空间。两个空间中的相关参数叫做共轭参数,可通过有效焦距或放大率关联。因此,成像就是物和像之间的传递,由物高和物距可推出像高和像距。下面是一个成像系统示意图和相关参数。
 

透镜或成像系统及其共轭参数

 

  • 主点(P和P'):主平面和光轴的交点

  • 顶点(V和V'):透镜表面和光轴的交点
  • 焦点(F和F'):前焦点和后焦点
  • 有效焦距(EFL):以主平面为参考的焦距
    (常用f表示)
  • 前有效焦距(fF):以像方主平面为参考的焦距
  • 后有效焦距(fR'):以物方主平面为参考的焦距

 

 

如果透镜处于空气中,有效焦距:

 

 

 
一个透镜或成像系统有三种构造光线,使用其中两种可实现成像的图形构造。
  • 平行光线在物空间内和光轴平行,通过透镜后经过像空间中的焦点,即平行光线变成聚焦光线。

  • 聚焦光线经过物空间中的焦点,通过透镜后在像空间中和光轴平行,即聚焦光线变成平行光线。

  • 主光线通过透镜时不改变方向。

     

    成像公式和放大率

    成像公式描述有效焦距与物距和像距的关系:

     

    因此,物距和像距是通过有效焦距关联的一对共轭参数。另外,透镜的横向放大率m不仅关联物距和像距,还关联着物高和像高。

     

    或者在物距未知时通过放大率确定像距:

     

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